正交试验设计是一种高效、快速、经济的试验设计方法，广泛应用于各个领域的科学研究和工程实践中。通过正交表安排试验，可以有效地减少试验次数，同时又能较全面地考察各因素及其交互作用对试验结果的影响。然而，在分析正交试验结果时，有时会发现某个因素的某个水平对应的响应变量明显偏离其他水平，也就是我们常说的“异常值”。这些异常值可能会对试验结果的分析和解释产生误导，因此需要进行妥善处理。下面，咱们就来聊聊在正交试验结果分析中遇到异常值该怎么办，以及如何采用稳健的统计方法来提高结果的可靠性和稳健性。
一、 啥是正交试验里的“异常值”？
在正交试验中，异常值通常指的是某个因素在特定水平下，其对应的响应变量值与其他水平下的响应值相比，存在显著差异。这种差异可能是由多种原因造成的，比如：
- 试验操作失误： 实验过程中出现的人为操作错误，例如配料错误、仪器故障、记录错误等。
- 试验材料或环境的异常波动： 试验材料本身存在缺陷或不均匀性，或者试验环境（如温度、湿度）发生异常变化。
- 因素水平本身的特殊性： 某些因素水平可能具有特殊性质，导致其响应值与其他水平存在本质差异。 比如，催化剂种类，A催化剂效果很好，BCD效果都不好。
- 数据记录或处理错误：单纯的记录错误，写错了。
二、 发现异常值，先别慌！
发现异常值后，首先不要急于直接剔除或进行统计处理。我们需要仔细审查试验过程和数据，判断异常值产生的原因。一般可以按照以下步骤进行：
- 检查原始数据： 仔细核对原始数据记录，确认是否存在抄写、录入错误。
- 回顾试验过程： 回顾试验操作过程，确认是否存在操作失误、仪器故障等问题。
- 分析异常值出现的规律： 观察异常值是否集中出现在某个试验批次、某个时间段或某个特定条件下。
- 咨询相关领域的专家： 如果自己无法确定异常值产生的原因，可以咨询相关领域的专家，寻求专业意见。
通过以上步骤，我们尽可能地找出异常值的“根源”。如果确定是试验操作失误或数据记录错误导致的异常值，可以直接剔除。但如果异常值是由因素水平本身的特殊性或其他未知原因导致的，则需要谨慎处理，不能轻易剔除。
三、 处理异常值的“招数”
针对无法直接剔除的异常值，我们可以考虑以下几种处理方法：
单独分析：
如果某个因素的某个水平明显优于或劣于其他水平，可以将该水平的数据单独进行分析，研究其产生优良或不良结果的原因。这种方法适用于异常值具有明确的物理意义或实际价值的情况。例如，在研究不同配方的食品保质期时，发现某个配方的保质期显著长于其他配方，那么就可以单独分析该配方的成分和工艺，为产品优化提供依据。又比如，某个工艺参数组合得到了非常好的结果，明显好于其他组合，那么可以着重对这个组合进行重复试验，看结果是否可以稳定复现。
稳健统计方法：
如果异常值对试验结果的整体分析产生了较大影响，可以采用稳健的统计方法来减小异常值的影响。稳健统计方法对异常值不敏感，能够给出更可靠的分析结果。常用的稳健统计方法包括：
- Winsorized 均值： 将数据排序后，用指定百分位数的数值替换掉两端超出该百分位数的数值，然后再计算均值。例如，用 5% 和 95% 分位数替换掉小于 5% 分位数和大于 95% 分位数的数值。这种方法可以有效地减小极端值对均值的影响。
- 中位数： 中位数是一组数据排序后位于中间位置的数值，对于对称分布的数据，中位数与均值接近；对于偏态分布的数据，中位数比均值更稳健。因为中位数只与中间位置的数值有关，不受极端值的影响。
- 截尾均值 (Trimmed mean)： 去除一定比例的极值之后再求均值。比如去除数据中最大和最小的5%的数据，然后计算剩下90%数据的均值。
- M 估计： M 估计是一种基于迭代加权最小二乘法的稳健估计方法，通过赋予异常值较小的权重来减小其对估计结果的影响。M 估计的具体实现方法有多种，例如 Huber 估计、Tukey 双权估计等。M-估计是一种广泛使用的稳健回归方法。
增加试验次数： 对于数据波动较大的情况，可以通过增加试验次数来获得更多数据，从而降低抽样误差和异常值对分析结果的影响。 尤其注意对怀疑出现异常值的那个条件组合进行重复。
Box-Cox变换：如果数据不符合正态分布，或者方差不齐，可以尝试对数据进行Box-Cox变换。通过Box-Cox变换，可以将非正态分布的数据转化为近似正态分布，从而满足一些统计分析方法的前提假设。当然，也可以对转换后的数据采用稳健的统计方法进行处理。
四、 案例分析
假设我们进行了一项关于不同温度（A）、时间（B）和催化剂用量（C）对某化学反应产率影响的正交试验。试验结果如下：
| 试验号 | A (温度) | B (时间) | C (催化剂用量) | 产率 (%) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 70 |
| 2 | 1 | 2 | 2 | 75 |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 72 |
| 4 | 2 | 1 | 2 | 80 |
| 5 | 2 | 2 | 3 | 82 |
| 6 | 2 | 3 | 1 | 78 |
| 7 | 3 | 1 | 3 | 60 |
| 8 | 3 | 2 | 1 | 65 |
| 9 | 3 | 3 | 2 | 62 |
观察数据可以发现，温度为 3 的三个试验（7、8、9）的产率明显低于其他温度水平。这可能是由于高温导致副反应增多，或者催化剂失活等原因。在分析数据时，可以采用以下几种方法：
- 方法一：单独分析。 将温度为 3 的数据单独进行分析，研究其产率较低的原因。可以进一步试验验证，或者查阅相关文献。
- 方法二：稳健统计。 采用 Winsorized 均值或中位数来计算各因素的平均效应。例如，计算温度的平均效应时，可以将温度为 3 的三个产率值（60, 65, 62）替换为温度为 1 和 2 的产率值的中位数（76.5），然后再计算三个温度水平的平均产率。
具体采用哪种方法，需要根据实际情况和研究目的来确定。如果研究的重点是寻找最佳工艺条件，那么可以采用方法一，重点关注产率较高的试验条件。如果研究的重点是评估各因素对产率的总体影响，那么可以采用方法二，获得更稳健的分析结果。
五、总结
正交试验结果分析中遇到异常值是常见的情况，处理异常值需要谨慎，不能轻易剔除。通过仔细审查试验过程和数据，找出异常值产生的原因是关键。如果异常值无法直接剔除，可以考虑单独分析、稳健统计方法等处理手段。选择哪种处理方法，需要根据试验的具体情况和研究目的来确定。总而言之，我们要尽可能保证结果的可靠性和稳健性，得出科学合理的结论。希望上面这些能给你带来一些启发！
