NMF算法在协同过滤推荐中的应用：原理与实战

“咦？这个电影我好像没看过，但评分预测还挺高，要不要试试？” 你是不是经常在各种App上遇到类似的情景？这背后，很可能就藏着一种叫做“非负矩阵分解”（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）的算法。

啥是协同过滤？

在聊NMF之前，咱们先得弄明白啥是协同过滤。简单来说，就是“大家觉得好的，我也觉得好；你喜欢的，我也可能喜欢”。

想象一下，一个电影推荐网站，有成千上万的用户和电影。每个用户都给看过的电影打了分（比如1-5星）。现在，我们要给某个用户推荐他没看过的电影。咋办呢？

协同过滤说：“好办！咱们看看跟他口味相似的用户都喜欢啥电影，然后推荐给他不就得了？”

具体来说，协同过滤有两种主要思路：

基于用户的协同过滤 (User-based CF)：找到和你口味相似的用户，看看他们喜欢啥，推荐给你。
基于物品的协同过滤 (Item-based CF)：找到和你喜欢的物品相似的物品，推荐给你。

这两种思路的核心，都是要计算“相似度”。用户之间的相似度，或者物品之间的相似度。怎么算呢？这就要用到各种各样的数学方法了，NMF就是其中一种。

NMF：让矩阵“瘦身”

NMF，非负矩阵分解，顾名思义，就是把一个矩阵拆成两个小矩阵。而且，这两个小矩阵里的所有元素都不能是负数（非负）。

这有啥用呢？咱们还是拿电影推荐来说事儿。

假设咱们有一个用户-电影评分矩阵R，长这样：

	电影1	电影2	电影3	...	电影M
用户1	5	？	1	...	？
用户2	？	4	？	...	2
用户3	1	？	5	...	？
...	...	...	...	...	...
用户N	？	2	？	...	4

其中，问号（？）表示用户还没看过这部电影，也就是我们要预测的评分。

NMF说：“我能把这个大矩阵R，拆成两个小矩阵P和Q。P代表用户对‘潜在特征’的偏好，Q代表电影在‘潜在特征’上的表现。”

啥是“潜在特征”？你可以理解为电影的类型（比如喜剧、动作、爱情），或者更抽象的因素（比如导演风格、演员阵容）。NMF不需要你事先告诉它这些特征是啥，它自己能从数据里学出来。

分解之后，P和Q长这样：

P (用户-潜在特征矩阵)：

	特征1	特征2	...	特征K
用户1	0.8	0.2	...	0.5
用户2	0.1	0.9	...	0.3
...	...	...	...	...
用户N	0.6	0.4	...	0.7

Q (潜在特征-电影矩阵)：

	电影1	电影2	...	电影M
特征1	0.7	0.3	...	0.9
特征2	0.2	0.8	...	0.1
...	...	...	...	...
特征K	0.5	0.6	...	0.4

然后，我们就可以用P和Q来预测用户对没看过电影的评分了：

预测评分 = P * Q

比如，我们要预测用户1对电影2的评分，就可以这么算：

预测评分 = (0.8 * 0.3) + (0.2 * 0.8) + ... + (0.5 * 0.6)

NMF的数学原理

NMF的目标，是找到两个非负矩阵P和Q，使得它们的乘积尽可能接近原始矩阵R：

R ≈ P * Q

怎么找呢？NMF用了一种叫做“迭代”的方法。就像雕刻家一点一点地雕琢石像，NMF也一步一步地调整P和Q，让它们越来越接近目标。

具体来说，NMF定义了一个“损失函数”，用来衡量PQ和R之间的差距。损失函数越小，说明PQ和R越接近。

常用的损失函数有两种：

平方损失 (Squared Loss)：

Loss = ||R - P*Q||²

这个公式的意思是，把R和P*Q里每个对应元素的差的平方加起来。
KL散度 (Kullback-Leibler Divergence)：

Loss = Σ (R * log(R / (PQ)) - R + PQ)

这个公式看起来有点复杂，但它的核心思想是衡量R和P*Q的“概率分布”之间的差异。KL散度越大，说明两个分布越不相似。

有了损失函数，NMF就可以用各种各样的优化算法（比如梯度下降、乘法更新）来找到让损失函数最小的P和Q。

NMF的优缺点

NMF的优点：

可解释性强：P和Q都有明确的含义，可以帮助我们理解用户和物品的潜在特征。
非负约束：非负约束更符合实际情况，比如评分不能是负数，用户对某个特征的偏好也不能是负数。
计算效率高：NMF的计算复杂度相对较低，适合处理大规模数据。

NMF的缺点：

不唯一性：NMF的解不唯一，也就是说，可能存在多组P和Q，它们的乘积都和R很接近。这可能会影响结果的稳定性。
局部最优：NMF的优化算法可能会陷入局部最优，也就是说，找到的P和Q可能不是全局最好的。

NMF实战：Python代码示例

说了这么多，咱们来点实际的。下面是一个用Python实现NMF的简单例子：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import NMF

# 构造一个用户-电影评分矩阵R
# 假设有5个用户，4部电影
R = np.array([
    [5, 3, 0, 1],
    [4, 0, 0, 1],
    [1, 1, 0, 5],
    [1, 0, 0, 4],
    [0, 1, 5, 4],
])

# 设置潜在特征的数量K
K = 2

# 创建NMF模型
model = NMF(n_components=K, init='random', random_state=0)

# 训练模型
P = model.fit_transform(R)
Q = model.components_

# 预测评分
R_pred = np.dot(P, Q)

# 打印结果
print("原始评分矩阵R：")
print(R)
print("\n用户-潜在特征矩阵P：")
print(P)
print("\n潜在特征-电影矩阵Q：")
print(Q)
print("\n预测评分矩阵R_pred：")
print(R_pred)

这段代码用到了Python的scikit-learn库，它提供了很多机器学习算法的实现，包括NMF。

代码很简单，主要分这么几步：

构造数据：创建一个用户-电影评分矩阵R。
设置参数：设置潜在特征的数量K。
创建模型：创建一个NMF模型。
训练模型：用R来训练模型，得到P和Q。
预测评分：用P和Q来预测评分。
打印结果：看看原始评分、P、Q和预测评分。

运行这段代码，你会看到类似这样的结果：

原始评分矩阵R：
[[5 3 0 1]
 [4 0 0 1]
 [1 1 0 5]
 [1 0 0 4]
 [0 1 5 4]]

用户-潜在特征矩阵P：
[[1.54945798 0.        ]
 [1.16822662 0.        ]
 [0.         2.1483856 ]
 [0.         1.67837545]
 [0.         2.27297888]]

潜在特征-电影矩阵Q：
[[3.22668274 2.25343576 0.          0.65376682]
 [0.39527218 0.42772463 1.56576383 1.78389136]]

预测评分矩阵R_pred：
[[5.         3.48999645 0.         1.01274996]
 [3.76249182 2.63164876 0.         0.76350288]
 [0.8490933  0.91835042 3.36234882 3.83649456]
 [0.66315155 0.71829491 2.61878986 2.98796719]
 [0.89927479 0.97372456 3.56158555 4.06065387]]

可以看到，预测评分和原始评分已经比较接近了。当然，这只是一个简单的例子，实际应用中还需要考虑很多因素，比如数据的预处理、参数的调优、模型的评估等等。

NMF的扩展和应用

除了基本的NMF，还有很多NMF的扩展，比如：

加权NMF (Weighted NMF)：给不同的评分赋予不同的权重，比如更近期的评分权重更高。
稀疏NMF (Sparse NMF)：在P和Q上加入稀疏性约束，让它们更稀疏，更容易解释。
图正则化NMF (Graph Regularized NMF)：利用用户之间或物品之间的关系（比如社交网络、电影类型）来约束P和Q。

NMF的应用也不仅仅局限于推荐系统，它还可以用于：

图像处理：比如人脸识别、图像分割。
文本挖掘：比如主题提取、文档聚类。
生物信息学：比如基因表达分析、蛋白质相互作用预测。

总之，NMF是一种非常强大且灵活的工具，值得我们深入学习和探索。

希望这篇文章能帮你对NMF有一个更深入的了解。如果你对NMF感兴趣，不妨自己动手试试，相信你会发现更多有趣的用法！

记住，实践出真知！

“实践是检验真理的唯一标准。”

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”

“Just do it!”

NMF算法在协同过滤推荐中的应用：原理与实战