NMF非负矩阵分解：从原理到推荐系统实战应用

你是不是经常在刷各种App的时候，被“猜你喜欢”精准命中？或者在购物网站上，发现推荐的商品正好是你想要的？这背后，有一种叫做“非负矩阵分解”（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）的技术功不可没。今天，咱们就来聊聊NMF，揭秘它在推荐系统中的神奇应用。

1. 什么是NMF？

想象一下，你有一堆乐高积木（原始数据），你想用更少的积木（降维）来拼出和原来差不多的东西。NMF就是干这个的！它把一个大矩阵（通常是用户-物品评分矩阵）分解成两个小矩阵，而且这两个小矩阵里的所有元素都是非负数（大于等于0）。

更正式一点的说法：

给定一个非负矩阵 V (例如，用户对电影的评分矩阵)，NMF的目标是找到两个非负矩阵 W 和 H，使得 V ≈ W * H*。

V: m x n 矩阵 (m个用户，n部电影)
W: m x k 矩阵 (m个用户，k个隐含特征)
H: k x n 矩阵 (k个隐含特征，n部电影)

这里的k通常远小于m和n，这就实现了降维。

为啥要非负？

因为在很多实际问题中，负数是没有意义的。比如，用户对电影的评分不能是负数，一部电影包含某个主题的程度也不能是负数。NMF的非负约束，使得分解结果更具有可解释性，也更符合实际情况。

2. NMF是怎么工作的？

NMF的目标是找到 W 和 H，使得 V 和 W * H* 之间的“差异”最小。这个“差异”可以用不同的方式来衡量，常用的有：

欧几里得距离 (Euclidean distance): 就像计算两点之间的直线距离一样，衡量 V 和 W * H* 对应元素差的平方和。
KL散度 (Kullback-Leibler divergence): 衡量两个概率分布之间的差异，更适用于处理计数数据（比如词频）。

不管用哪种方式，NMF都是一个迭代优化问题。就像雕刻家一点点打磨石料，NMF通过不断调整 W 和 H 的值，来逼近最佳结果。常用的迭代算法有：

乘法更新规则 (Multiplicative Update Rule): 简单、易于实现，是NMF的经典算法。
梯度下降 (Gradient Descent): 更通用，可以用于各种优化问题，但可能需要调整学习率等参数。
交替最小二乘 (Alternating Least Squares): 将问题分解为两个子问题，分别求解 W 和 H。

咱们以乘法更新规则为例，看看它是怎么迭代的：

初始化： 随机生成两个非负矩阵 W 和 H。
迭代更新：
- 更新 H： H = H .* (W^T V) ./ (W^T W H + ε) ( .* 表示逐元素乘法，./ 表示逐元素除法，ε 是一个很小的正数，防止除零)
- 更新 W： W = W .* (V H^T) ./ (W H H^T + ε)
重复步骤2，直到满足停止条件： 比如，达到最大迭代次数，或者 V 和 W * H* 之间的差异小于某个阈值。

3. NMF在推荐系统中的应用

现在，咱们来看看NMF在推荐系统中是怎么大显身手的。

用户-物品评分矩阵：

假设我们有一个用户对电影的评分矩阵 V，其中 V_ij 表示用户 i 对电影 j 的评分（如果用户没有评分，则为0）。

NMF分解：

我们将 V 分解成 W 和 H：

W: 用户-特征矩阵，W_ik 表示用户 i 对隐含特征 k 的偏好程度。
H: 特征-物品矩阵，H_kj 表示电影 j 包含隐含特征 k 的程度。

预测评分：

有了 W 和 H，我们就可以预测用户 i 对电影 j 的评分：

V_ij ≈ ∑_k W_ik H_kj

推荐：

对于用户 i，我们可以计算他对所有未评分电影的预测评分，然后将评分最高的若干部电影推荐给他。

举个栗子：

假设我们有4个用户和5部电影，评分矩阵如下（0表示未评分）：

V = [
    [5, 3, 0, 1, 0],
    [4, 0, 0, 1, 1],
    [1, 1, 0, 5, 0],
    [1, 0, 0, 4, 4],
    [0, 1, 5, 4, 0]
]

我们设置隐含特征数k=2，进行NMF分解，得到 W 和 H：

W = [
    [2.7, 0.1],
    [2.2, 0.0],
    [0.0, 2.9],
    [0.0, 2.6],
    [0.3, 1.9]
]

H = [
    [1.8, 0.0, 0.1, 0.0, 0.2],
    [0.1, 0.3, 1.7, 1.5, 0.0]
]

现在，我们可以预测用户1对电影3的评分：

V₁₃ ≈ 2.7 * 0.1 + 0.1 * 1.7 = 0.44

我们可以看到，用户1主要喜欢特征1（比如动作片），而电影3主要包含特征2（比如爱情片），所以预测评分较低。我们可以根据这个预测评分，决定是否将电影3推荐给用户1。

4. NMF的效果评估

如何评估NMF的效果呢？常用的指标有：

均方根误差 (RMSE): 衡量预测评分和实际评分之间的差异。
平均绝对误差 (MAE): 也是衡量预测误差，但对异常值不敏感。
准确率 (Precision) 和召回率 (Recall): 衡量推荐结果的准确性和覆盖率。通常用于Top-N推荐（只推荐评分最高的N部电影）。
NDCG (Normalized Discounted Cumulative Gain): 考虑推荐列表的排序，排名越靠前的物品权重越大。

在实际应用中，我们需要根据具体场景选择合适的评估指标。

5. NMF的优缺点

优点：

可解释性强： 分解结果具有明确的物理意义，便于理解和分析。
非负约束： 更符合实际情况，结果更稳定。
易于实现： 乘法更新规则简单高效。
可扩展性： 可以应用于大规模数据集。

缺点：

局部最优： NMF是一个非凸优化问题，可能收敛到局部最优解。
参数选择： 需要选择合适的隐含特征数k，以及停止条件。
数据稀疏性： 对于高度稀疏的矩阵，NMF的效果可能不佳。

6. NMF的改进和扩展

为了克服NMF的缺点，研究者们提出了很多改进和扩展方法：

正则化： 在目标函数中加入正则化项，防止过拟合，提高泛化能力。
稀疏NMF： 引入稀疏约束，使得 W 或 H 更稀疏，提高可解释性。
图正则化NMF： 利用用户或物品之间的相似性信息，构建图结构，提高推荐准确性。
非负张量分解 (NTF): 将NMF推广到更高维的数据（张量）。

7. 总结

NMF是一种强大的矩阵分解技术，在推荐系统中有着广泛的应用。它通过将用户-物品评分矩阵分解成两个非负矩阵，实现了降维和特征提取，从而预测用户对物品的偏好。NMF具有可解释性强、非负约束、易于实现等优点，但也存在局部最优、参数选择等问题。随着研究的深入，NMF的改进和扩展方法不断涌现，为推荐系统带来了更多的可能性。

希望这篇文章能帮助你更好地理解NMF，如果你对推荐系统感兴趣，不妨动手试试NMF，看看它能给你带来什么惊喜！

NMF非负矩阵分解：从原理到推荐系统实战应用