L1正则化数学原理大揭秘
哎呀，说到L1正则化，你是不是感觉脑瓜子嗡嗡的？别怕！今天咱就用大白话，把L1正则化这玩意儿的数学原理掰开了揉碎了，给你讲得明明白白！保证你听完之后，感觉就像吃了炫迈一样，根本停不下来！
啥是正则化？
在聊L1正则化之前，咱先得搞清楚“正则化”是个啥。你想啊，咱们训练模型的时候，是不是希望模型既能在训练数据上表现好（也就是“拟合”得好），也能在没见过的数据上表现好（也就是“泛化”能力强）？
但是！模型这玩意儿，有时候太“聪明”了也不好。它可能会把训练数据里的那些乱七八糟的噪声也给学进去，结果在遇到新数据的时候，反而傻眼了，表现得一塌糊涂。这就好比你考试前死记硬背，把书上的每个字都背下来了，结果考试的时候稍微变个花样，你就懵圈了。
为了避免这种情况，咱就得给模型加点“约束”，让它别那么“放飞自我”。这个“约束”就是正则化！正则化就像给模型戴上了一个“紧箍咒”，限制了它的“自由度”，让它不能随便乱学，只能老老实实地学习那些真正有用的东西。
L1正则化又是啥？
正则化有很多种，L1正则化就是其中一种。那L1正则化是怎么给模型戴上“紧箍咒”的呢？
简单来说，L1正则化就是在模型的损失函数后面，加上一项“惩罚项”。这个惩罚项是模型参数的绝对值之和，再乘以一个系数（这个系数叫做“正则化系数”或者“惩罚系数”）。
你想啊，模型参数的绝对值越大，说明模型越“复杂”，越容易过拟合。所以，L1正则化就是通过惩罚那些绝对值大的参数，来“逼迫”模型变得更“简单”，从而提高模型的泛化能力。
用数学公式表示就是这样：
$$J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 + \lambda \sum_{j=1}^{n}|\theta_j|$$
你看，这个公式里，前面那一坨是原来的损失函数（比如均方误差），后面那一坨就是L1正则化项。$\lambda$ 就是正则化系数，$\theta_j$ 就是模型的参数。
L1正则化为啥能让模型参数变小，甚至变成0？
这可是L1正则化的精髓所在！你想想，L1正则化项是模型参数的绝对值之和，这玩意儿的图像长啥样？
假设模型只有一个参数$\theta$，那么L1正则化项的图像就是一个V字形，V字的尖尖就在$\theta=0$ 的地方。当模型的损失函数加上这个V字形的“惩罚项”之后，整个损失函数的最小值，就有可能被“拉”到$\theta=0$ 的地方，或者至少是靠近$\theta=0$ 的地方。
如果有多个参数，L1正则化项的图像就是一个“超菱形”（在二维空间里是菱形，在三维空间里是八面体，更高维度就是“超菱形”）。这个“超菱形”有很多“尖尖”，这些“尖尖”对应着某些参数为0的情况。所以，L1正则化也有可能把某些参数“逼”到0，从而实现“特征选择”的效果。
梯度下降法和L1正则化
咱都知道，训练模型的时候，一般都是用梯度下降法来找到损失函数的最小值。但是，L1正则化项在$\theta=0$ 的地方是不可导的（因为V字形的尖尖那里没有导数）。这可咋整？
别慌！虽然L1正则化项在$\theta=0$ 的地方不可导，但是咱可以用“次梯度”的概念来解决这个问题。
啥是次梯度？简单来说，就是把不可导的点“圆滑”一下，用一个“范围”来代替导数。比如，对于绝对值函数$|\theta|$，在$\theta=0$ 的地方，它的次梯度可以是[-1, 1]之间的任意一个数。
有了次梯度，咱就可以对L1正则化项求导了。具体来说，就是：
- 当$\theta_j > 0$ 时，L1正则化项的导数是$\lambda$。
- 当$\theta_j < 0$ 时，L1正则化项的导数是$-\lambda$。
- 当$\theta_j = 0$ 时，L1正则化项的次梯度是$[-\lambda, \lambda]$。
然后，咱就可以把这个导数（或者次梯度）加到原来的损失函数的导数上，然后用梯度下降法来更新模型参数了。
更新公式大概长这样：
$$\theta_j := \theta_j - \alpha (\frac{\partial}{\partial \theta_j}J_0(\theta) + \lambda \cdot sign(\theta_j))$$
其中，$J_0(\theta)$ 是原来的损失函数，$\alpha$ 是学习率，$sign(\theta_j)$ 是符号函数（当$\theta_j > 0$ 时为1，当$\theta_j < 0$ 时为-1，当$\theta_j = 0$ 时可以取[-1, 1]之间的任意一个数）。
你看，这个公式里，当$\theta_j$ 的绝对值比较大的时候，正则化项的导数会“抵消”一部分原来的损失函数的导数，从而让$\theta_j$ 的更新幅度变小。当$\theta_j$ 的绝对值比较小的时候，正则化项的导数可能会让$\theta_j$ 直接变成0。
L1正则化的应用
L1正则化有很多应用，比如：
- 特征选择：L1正则化可以把某些不重要的特征的权重“逼”到0，从而实现特征选择的效果。
- 稀疏模型：L1正则化可以让模型的参数变得稀疏（也就是有很多参数为0），从而减少模型的存储空间和计算复杂度。
- 图像处理：L1正则化可以用于图像去噪、图像重建等任务。
总结
好啦，关于L1正则化的数学原理，咱就聊到这里啦！希望你已经对L1正则化有了一个更深入的了解。记住，L1正则化就是通过给模型参数的绝对值之和加上一个“惩罚项”，来“逼迫”模型变得更“简单”，从而提高模型的泛化能力。L1正则化还可以实现特征选择和稀疏模型的效果。下次再遇到L1正则化，你就可以自信地说：“这个我懂！”
是不是感觉还挺简单的？其实，很多机器学习的算法，背后的数学原理并没有那么可怕。只要你肯花点时间，用大白话把它们掰开了揉碎了，你也能轻松掌握它们！
这感觉，真像吃了炫迈，完全停不下来啊，对吧？
